La structure d'un processus discrétisé est rappelée ci-dessous.

Le processus continu est décrit par sa représentation d'état continue, il est piloté par le calculateur qui :

- élabore la loi de commande u aux instants k.T_e

- traite la sortie y aux mêmes instants.

Le calculateur traite et élabore une suite de nombres. Les valeurs de la sortie sont liées à celles de l'entrée par une équation de récurrence qui dans le cas monovariable s'écrit généralement :

Remarque 1 : L'opération d'échantillonnage a pour effet de dupliquer le spectre fréquentiel Y(f) avec une périodicité de ( Cf. cours de systèmes linéaires échantillonnés ). Or, Y(f) peut comporter des composantes . Il y a alors chevauchement des spectres et dégradation de l'information. La condition de Shannon est respectée si 2.f_h < , où f_h désigne la fréquence de coupure haute du filtre d'antirepliement.

Remarque 2: Les avantages d'une structure pilotée par calculateur sont :

- Les lois de commande sont définies par logiciel; en conséquence, il est aisé de les modifier, même en cours de fonctionnement ( commande adaptative ).

- La commande élaborée au niveau du logiciel n'est pas sensible aux dérives ( effet des perturbations, du vieillissement, etc. )

- Le coût actuel des processeurs de signaux permet d'élaborer des lois de commande performantes à coûts réduits.

Le processus est continu et invariant, il peut être décrit par sa représentation d'état ( indicée c ):

Compte-tenu de la présence du bloqueur d'ordre zéro, on cherche une description du système vu par le calculateur sous la forme d'une représentation d'état.

L'intégration de l'équation d'état d'un système continu conduit à ( Cf "Commande et optimisation des systèmes", Chap I, Annexe 1 ).

En intégrant cette équation depuis l'instant t = t_k et en tenant compte du fait que la commande u(t) est constante sur l'intervalle T_e = [ t_k , t_k+1 ],

En posant le changement de variable l = t - t_k ,

Le processus discrétisé mis sous forme d'état discrète:

Et représenté par :

Après identification :

C = C_c D = D_c

Le calcul de ex^Ac.Te peut être mené en utilisant la formule de Sylvester ( Cf "Commande et optimisation des systèmes", Chap I, Annexe 2 ).

Remarque : On peut rapidement calculer des valeurs approchées pour A et B en utilisant le développement de la dérivée au premier ordre,

devient :

Exemple : Soit le système continu étudié décrit par :

Ce système muni de son bloqueur d’ordre zéro cadencé à la période d’échantillonnage Te = 0,1s admet comme représentation d’état discrète :

Par la première méthode : On applique alors la formule de Sylvester ; on calcule les valeurs propres de A_c.

Soit l1 = -4 et l2 = -1.

tous calculs faits, avec Te = 0,1s :

d'où :

Un vecteur d'état [ X_k ] évolue dans un espace de dimension n et son extrémité décrit la trajectoire d'état. Dans un espace donné, tout vecteur d'état [ X ] est lié à un autre par une relation du type:

P matrice de passage non singulière.

Il existe donc une infinité de représentations pour un même système. Certaines d'elles permettent d'alléger considérablement les calculs ou de mettre en évidence des propriétés du système. L’indice i désigne la représentation d’état obtenue après changement de base ( d, h et v pour diagonale, horizontale et verticale ).

Le système peut être décrit par une relation récurrente ou par sa fonction de transfert en z. Cette étude est restreinte au cas monovariable.

L'équation de récurrence :

y_k+n + a_n-1.y_k+n-1 + ... a₁.y_k+1 + a₀.y_k = b_m.u_k+m + b_m-1.u_k+m-1 + ... b₁.u_k+1 + b₀.u_k

La fonction de transfert :

Elle facilite la mise au point des observateurs. Comme dans le cas des systèmes continus, elle a pour expression :

Le calcul de la matrice de passage P est mené comme dans le cas continu ( Cf Commande et optimisation des systèmes , chapitre 1, § 4.3 ).

Un système est observable sur [ k₀ , k₁ ] si la connaissance de U_k et Y_k sur cet intervalle permet de déterminer la valeur de l'état initial X_k0 .

Il vient en itérant l'équation d'état :

X_k+1 = A.X_k + B.U_k

...

X_k+n-1 = A^n-1.X_k + A^n-2.B.U_k + A^n-3.B.U_k-1 + ...AB.U_k+n-3 + B. U_k+n-2

On obtient Y_k en multipliant à gauche par C ,

Y_k+1 = C.A.X_k + C.B.U_k

Y_k+2 = C.A².X_k + C.A.B.U_k + C.B.U_k+1

...

Y_k+n-1 = C.A^n-1.X_k + C.A^n-2.B.U_k + C.A^n-3.B.U_k-1 + ...C.B.U_k+n-2

Y_k+n = C.Aⁿ.X_k + C.A^n-1.B.U_k + C.A^n-2.B.U_k-1 + ...C.A.B.U_k+n-2 + B. U_k+n-1

Soit sous forme matricielle :

La connaissance des n valeurs successives de la sortie et de la commande permet la détermination de X_k à condition que :

Remarque : Comme dans le cas continu la fonction de transfert ne conserve que les modes à la fois commandables et observables.

Le système est supposé commandable, la méthode de commande par placement de modes dans le cas discret est analogue à celle mise en œuvre dans le cas continu. On utilise avantageusement la forme compagne horizontale. Il convient de placer judicieusement les modes à l’intérieur du cercle unité pour garantir la stabilité et de bonnes performances dynamiques au système. La structure d'une commande par retour d'état est rappelée ci-dessous.

Soit le polynôme caractéristique de la matrice d'évolution des états du système non corrigé :

La correction a pour effet de modifier les modes du système( qui sont les valeurs propres de A ) :

Dans la base compagne horizontale et

Il convient ensuite de revenir à la base originelle.

Un cas interessant, la commande pile ou dead beat permet un amortissement du transitoire du système en n périodes d'échantillonnage. Dans ce cas, le polynôme caractéristique de la matrice d'évolution des états du système corrigé est :

On élabore une commande pile pour l’exemple du § 2, soit

Le polynôme caractéristique de la matrice d'évolution des états du système non corrigé a pour expression : P_A(z) = z² - 1,568.z + 0,6

On en déduit la mise sous forme compagne horizontale :

On cherche la matrice K_h telle que le polynôme caractéristique du système corrigé soit z². La matrice d’évolution des états désirés a ses coefficients a₀ et a₁ nuls.

Þ k_h0 = -0,6 et k_h1 = -1,568

Il convient alors d’appliquer la transformation : K = K_h.P^-1 pour revenir à la base originelle.

On obtient bien une réponse pile comme le montre les chronogrammes. La rapidité du système est obtenue au prix d’une forte sollicitation de la commande. En pratique cette solution est rarement envisageable.

Remarque : On se souviendra que dans le cas des systèmes échantillonnés, les modes sont d’autant plus rapides qu'ils sont proches de l’origine, d’autant plus lents qu’ils sont proches du cercle unité.